Se dice que dos cantidades A y B son directamente proporcionales o cambian de manera proporcional si aumentan o disminuyen de la misma manera, es decir, cuando una de ellas aumenta al doble, sucede lo mismo con la otra, o si una disminuye a la tercera parte, la otra también.
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Este video muestra ejemplos de cantidades que varían de manera proporcional en contextos de la vida cotidiana.
Por ejemplo, en las tablas 1 y 2 las cantidades a, b cambian de manera proporcional, pero no sucede lo mismo en las tablas 3 y 4.
Una misma relación de proporcionalidad puede representarse de distintas maneras. Por ejemplo, si un grifo vierte 8 L de agua por minuto, la cantidad de agua vertida (y) después de x minutos se puede representar…
• con una tabla:
• con una ecuación: y = 8x. Al asignar valores a la variable x, se obtienen los valores correspondientes de y. Por ejemplo, si x = 1, y = 8(1) = 8; si x = 2, y = 8(2) = 16; si x = 0, y = 0(2) = 0.
• con una gráfica:
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Observa tres maneras (tabla, ecuación, gráfica) de representar una relación de proporcionalidad en el siguiente video.
La gráfica de cualquier relación de proporcionalidad directa siempre es una línea recta que pasa por el origen (0, 0). Es decir, si la gráfica no es una línea recta o no pasa por el origen, entonces la relación no es de proporcionalidad.
Una relación entre dos cantidades x, y es lineal si se cumple que y = mx + b, donde m y b son constantes (números fijos). Por ejemplo, la relación que a cada número le asocia su doble más tres unidades es lineal, pues puede escribirse como y = 2x + 3.
La gráfica de cualquier relación lineal es siempre una línea recta (de ahí su nombre), pero que puede no pasar por el origen (al 0 no necesariamente le corresponde el 0).
En la ecuación de una recta (y = mx + b), la b recibe el nombre de ordenada al origen y tiene dos interpretaciones.
• Geométrica: es la ordenada del punto donde la recta corta al eje y.
• Algebraica: es el valor de y cuando x vale 0.
Por ejemplo, para la ecuación y = 0.5x + 1, en la que el valor de b es 1:
• Interpretación geométrica: la recta corta al eje y en el punto (0, 1).
• Interpretación algebraica: el valor de y cuando x vale 0 es 1, pues y = 0.5(0) + 1 = 1.
El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados posibles. Por ejemplo, en el experimento de lanzar un dado de seis caras y una moneda juntos el espacio muestral es {(1, A), (1, S), (2, A), (2, S), (3, A), (3, S), (4, A), (4, S), (5, A), (5, S), (6, A), (6, S)}.
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Aprende más sobre el espacio muestral de un experimento en el siguiente video.
La probabilidad de un evento es la razón entre el número de resultados favorables y el de resultados posibles. Por ejemplo, si se lanza un dado de seis caras, la probabilidad de que caiga un número par es 3/6 = ½, pues hay tres resultados favorables (2, 4, 6) de seis posibles (1, 2, 3, 4, 5, 6).
La probabilidad de un evento puede expresarse en forma de fracción, como número decimal o en porcentaje. Por ejemplo, si se lanzan tres monedas juntas, la probabilidad de que caigan solo caras iguales (tres águilas o tres soles) es…
• en forma de fracción, 2/8 = 1/4;
• como número decimal, 0.25;
• como porcentaje, 25%.
La probabilidad de un evento imposible es 0; la de un evento seguro es 1. Para eventos probables (que no se sabe si ocurrirán o no) la probabilidad es un número entre 0 y 1.
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En este video se muestra cómo calcular la probabilidad de un evento en un contexto de pelotas de colores en una urna.
Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir de manera simultánea.
Por ejemplo, para el lanzamiento de dos dados, los eventos “Que la suma sea impar” y “Que caigan caras iguales” son mutuamente excluyentes, pues la suma de caras iguales siempre da un número par: 1 + 1 = 2; 2 + 2 = 4; 3 + 3 = 6; 4 + 4 = 8; 5 + 5 = 10; 6 + 6 = 12.
Los eventos complementarios son aquellos que, además de ser mutuamente excluyentes, abarcan todo el espacio muestral.
Por ejemplo, para el lanzamiento de un dado los eventos “Que caiga número par” y “Que caiga 1, 3 o 5” son complementarios, pues 1, 3 y 5 no son pares y además cualquier elemento del espacio muestral {1, 2, 3, 4, 5, 6} cumple con alguna de las dos características (ser par, o ser 1, 3 o 5).
Los eventos complementarios siempre son mutuamente excluyentes, pero la afirmación recíproca no es verdadera; es decir, hay eventos mutuamente excluyentes que no son complementarios.
Los triángulos que tienen un ángulo recto (de 90°) se llaman triángulos rectángulos. A los dos lados que forman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado (frente al ángulo recto) se le llama hipotenusa.
Si se construyen cuadrados sobre los lados de cualquier triángulo rectángulo, siempre sucede que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa. Este resultado se conoce como el teorema de Pitágoras.
Algebraicamente, el teorema de Pitágoras se expresa así:
Si a y b son las medidas de los catetos en un triángulo rectángulo y c es la medida de la hipotenusa, se cumple que a2 + b2 = c2. Es decir, el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
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Este video explica, con ejemplos concretos, los significados geométrico y algebraico del teorema de Pitágoras.
Si se conocen las medidas de dos lados de un triángulo rectángulo, la medida del tercer lado puede calcularse usando el teorema de Pitágoras, como en los siguientes ejemplos.
• Se conocen las medidas de los dos catetos:
Como los catetos miden 6 y 8 unidades, se debe cumplir que 62 + 82 = c2; es decir c2 = 36 + 64 = 100.
Si c2 = 100, significa que c es un número que multiplicado por sí mismo da como resultado 100; es decir, c es la raíz cuadrada de 100, que puede ser 10 o −10 (los números positivos tienen dos raíces, una positiva y otra negativa).
Como las distancias o longitudes son siempre positivas, entonces c = 10, es decir, la hipotenusa mide 10 unidades. Con este valor de c se cumple la igualdad 62 + 82 = 102.
• Se conocen las medidas de la hipotenusa y de un cateto:
Como un cateto mide 2 unidades y la hipotenusa mide 5 unidades, se debe cumplir que 22 + b2 = 52; al despejar b2 se obtiene b2 = 52 – 22 = 25 − 4 = 21.
Si b2 = 21, significa que b es la raíz cuadrada de 21, que es aproximadamente 4.58 (de nuevo, tomamos la raíz positiva). Es decir, el cateto b mide aproximadamente 4.58 unidades.
El siguiente video cuenta la historia de un juicio real en el que se usó el teorema de Pitágoras para dictar sentencia.