La forma general o forma canónica de una ecuación de segundo grado o cuadrática es ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números fijos y a ≠ 0. Por ejemplo, las siguientes ecuaciones cuadráticas están escritas en la forma general:
• 3x2 + 2x + 1 = 0; en este caso, a = 3, b = 2 y c = 1.
• (3/2)x2 – 2x + 5 = 0; en este caso, a = 3/2, b = –2 y c = 5.
• –0.5x2 – 2x = 0; en este caso, a = –0.5, b = –2 y c = 0.
• 4x2 – 16 = 0; en este caso, a = 4, b = 0 y c = –16.
Si una ecuación cuadrática no está escrita en la forma general, se puede manipular algebraicamente para reescribirla en la forma general, como se muestra a continuación:
• Si la ecuación original es 2 – 2x + 4 = x2
se resta x2 en ambos lados de la igualdad: 2 – 2x + 4 – x2 = x2 – x2;
se reacomodan los términos del lado izquierdo: –x2 – 2x + 2 + 4 = x2 – x2;
se suman o restan términos semejantes: –x2 – 2x + 6 = 0.
• Si la ecuación original es 3x2 – 4 = –x2 + x;
se suma x2 en ambos lados de la igualdad: 3x2 – 4 + x2 = –x2 + x + x2;
se reacomodan términos: 3x2 + x2 – 4 = –x2 + x2 + x;
se resta x en ambos lados: 3x2 + x2 – 4 – x = –x2 + x2 + x – x;
se suman o restan términos semejantes: 4x2 – 4 – x = 0;
se reacomoda el lado izquierdo: 4x2 – x – 4 = 0.
• Si la ecuación original es (x – 2)(x + 1) = 7;
se desarrolla el producto del lado izquierdo: x2 + x – 2x – 3 = 7;
se resta 7 en ambos miembros: x2 + x – 2x – 3 – 7 = 7 – 7;
se agrupan términos semejantes: x2 – x – 10 = 0.
Cualquier ecuación de segundo grado escrita en la forma general (Ax2 + Bx + C = 0) puede resolverse con la siguiente expresión llamada fórmula general.
El símbolo ± indica que una de las soluciones se obtiene sumando
y la otra, restando esa misma expresión.
Así, las dos soluciones potenciales de una ecuación cuadrática son
Para resolver una ecuación cuadrática con la fórmula general solo hay que sustituir a, b y c por los valores correspondientes y efectuar las operaciones. Por ejemplo, para la ecuación 0.5x2 – 2x – 6 = 0:
Así, las dos soluciones de la ecuación son 6 y –2.
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Observa cómo resolver ecuaciones cuadráticas con la fórmula general en el siguiente video:
La expresión b2 – 4ac, que aparece dentro de la raíz en la fórmula general, recibe el nombre de discriminante, y su valor determina cuántas soluciones tiene la ecuación:
• Si b2 – 4ac = 0, la ecuación tiene una única solución (pues la raíz de 0 es 0, y restar 0 es lo mismo que sumar 0).
• Si b2 – 4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones (una se obtiene sumando y la otra restando).
• Si b2 – 4ac < 0, la ecuación no tiene solución (pues no existen raíces de números negativos).
Se dice que dos eventos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que ocurra cualquiera de ellos es la misma si sucede el otro o no. Es decir, el hecho de que suceda B no cambia la probabilidad de que lo haga A, y viceversa. Por ejemplo:
• Si se lanzan dos monedas, los eventos A = “Que caiga águila en la primera” y B = “Que caiga sol en la segunda” son independientes y, por tanto, la probabilidad de B es ½, sin importar lo que suceda con la otra moneda.
• Si se lanzan dos dados, los eventos A = “Que caiga número par en el primero” y B = “Que caiga 6 en el segundo” son independientes y, por tanto, la probabilidad de B es 1/6, sin importar lo que suceda con el otro dado.
Cuando dos eventos, A y B, son independientes, la probabilidad de que ocurran ambos se calcula multiplicando las probabilidades de que ocurra cada uno por separado, es decir P(A y B) = P(A) × P(B). Esta propiedad de los eventos independientes se conoce como regla del producto. Por ejemplo:
• Para el lanzamiento de un dado y una moneda juntos, y los eventos A = “Obtener águila en el volado” y B = “Obtener 6 en el dado”, las probabilidades de A y B son P(A) = 1/2 y P(B) = 1/6. Entonces, de acuerdo con la regla del producto, la probabilidad de que ocurran ambos eventos es P(A y B) = P(A) × P(B) = (1/2)(1/6) = 1/12.
• El resultado anterior coincide con el que se obtiene si se calcula la probabilidad “a pie”, pues el espacio muestral tiene 12 elementos, {(1, A), (1, S), (2, A), (2, S), (3, A), (3, S), (4, A), (4, S), (5, A), (5, S), (6, A), (6, S)}, y solo uno de ellos es favorable, (6, A). Así, la razón “número de resultados favorables/elementos del espacio muestral” es 1/12.
La regla del producto también es válida para tres o más eventos independientes. Por ejemplo:
• Para el lanzamiento de tres monedas, y los eventos A = “Obtener águila en la primera”, B = “Obtener sol en la segunda” y C = “Obtener águila en la tercera” las probabilidades de A, B y C son P(A) = ½ y P(B) = ½, P(B) = ½. Entonces, de acuerdo con la regla del producto, la probabilidad de que ocurran los tres eventos es P(A y B y C) = P(A) × P(B) × P(C) = (1/2)(1/2)(1/2) = 1/8.
• En este caso el espacio muestral tiene 8 elementos, {(A, A, A), (A, A, S), (A, S, A), (A, S, S), (S, A, A), (S, A, S), (S, S, A), (S, S, S)}, y solo uno de ellos es favorable, (A, S, A). Entonces la razón “número de resultados favorables/elementos del espacio muestral” es 1/8.
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En el siguiente video se muestra cómo usar la regla del producto para calcular probabilidades de eventos independientes:
En un triángulo rectángulo, los dos lados que forman el ángulo recto son los catetos y el otro lado (frente al ángulo recto) es la hipotenusa.
A partir de un ángulo agudo A en cualquier triángulo rectángulo, se definen las siguientes razones trigonométricas (cocientes entre medidas de los lados):
• El cociente que se obtiene al dividir la medida del cateto opuesto (CO) entre la medida de la hipotenusa (H) se llama seno del ángulo A, y se denota sen A = CO/H.
• El cociente que se obtiene al dividir la medida del cateto adyacente (CA) entre la medida de la hipotenusa (H) se llama coseno del ángulo A, y se denota cos A = CA/H.
• El cociente que se obtiene al dividir la medida del cateto opuesto (CO) entre la medida del cateto adyacente (CA) se llama tangente del ángulo A, y se denota tan A = CO/CA.
Por ejemplo, en el triángulo mostrado y para el ángulo de 35°…
• sen 35° = 4.9/8.5 = 0.57
• cos 35° = 7/8.5 = 0.82
• tan 35° = 7/8.5 = 0.7
Si se conocen las medidas de un lado y un ángulo agudo del triángulo rectángulo, se pueden usar razones trigonométricas para encontrar las medidas de los otros lados.
Por ejemplo, para un triángulo con un ángulo de 50° y cuyo cateto adyacente mide 5 unidades…
• cos 50° = CA/H; cos 50° = 5/H; H = 5/cos 50°; y como cos 50° = 0.64 (este valor se puede obtener con cualquier calculadora científica), entonces H = 5/0.64 = 7.8.
• tan 50° = CO/CA; tan 50° = CO/5; CO = 5(tan 50°); y como tan 50° = 1.19, entonces CO = 5/1.19 = 5.95.
• Otra opción para calcular la medida del cateto opuesto es usar el teorema de Pitágoras con las dos medidas que ya se conocían (CA y H): 7.82 = 52 + (CO)2; CO2 = 7.82 – 52; CO2 = 35.84. La medida del cateto opuesto es entonces la raíz de 35.84, que es aproximadamente 5.98.
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Observa cómo resolver problemas de geometría mediante razones trigonométricas en los siguientes videos: