Una ecuación es una igualdad (tiene el signo =) en la que hay una o más cantidades desconocidas, representadas mediante literales (letras). Por ejemplo:
• 3x − 1 = 2x + 3
• (x − 3)(x + 2) = 0
Resolver una ecuación significa encontrar el valor de la incógnita que hace la igualdad verdadera. Por ejemplo, para las ecuaciones anteriores:
• x = 4 es solución de la ecuación 3x − 1 = 2x + 3, pues si se sustituye x por 4 en la ecuación, se obtiene 3(4) − 1 = 2(4) + 3; 12 − 1 = 8 + 3; 11 = 11.
• x = 3 es solución de la ecuación (x − 3)(x + 2) = 0, pues (3 − 3)(3 + 2) = (0)(5) = 0. También x = −2 es solución de dicha ecuación, pues (−2 − 3)(−2 + 2) = (−5)(0) = 0.
Si se hace la misma operación en ambos miembros de una ecuación (a la izquierda y a la derecha del signo =), la igualdad se mantiene. Por ejemplo:
2z2 − 9 = z2
2z2 − 9 + 9 = z2 + 9
2z2 = z2 + 9
2z2 − z2 = z2 + 9 − z2
z2 = 9
√z2 = √9
z = ±3
Para verificar si un número dado es solución de una ecuación, se sustituye dicho número por la incógnita. Si se cumple la igualdad, el número es solución de la ecuación.
• Para la ecuación 3z – 8 = 2z y el número 8:
3(8) – 8 = 2(8); 24 – 8 = 16; 16 = 16. La igualdad se cumple, 8 es solución de la ecuación.
• Para la ecuación 2x2 + 5x – 2 = 1 y el número 0.5:
2(0.52) + 5(0.5) – 2 = 2(0.25) + 2.5 – 2 = 0.5 + 2.5 – 2 = 3 – 2 = 1. La igualdad se cumple, 0.5 es solución de la ecuación.
Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es encontrar una pareja de números (uno para cada incógnita) que haga verdaderas ambas igualdades, como se muestra en los siguientes ejemplos:
• Para el sistema x + 8 = y, y = 2x, la pareja de números x = 8, y = 16 es solución de ambas ecuaciones, pues al asignar esos valores para las variables en ambas ecuaciones, se obtiene
x + 8 = y, 8 + 8 = 16; 16 = 16 (la igualdad es verdadera);
y = 2x; 16 = 2(8); 16 = 16 (la igualdad es verdadera)
• Para el sistema 3y + 1 – x = 0, 2y + 4 = x, la pareja de números x = 10, y = 3 es solución de ambas ecuaciones, pues al asignar esos valores para las variables en ambas ecuaciones, se obtiene
3y + 1 – x = 0, 3(3) + 1 – 10 = 0; 0 = 0;
2y + 4 = x; 16 = 2(3) + 4 = 10; 6 + 4 = 10; 10 = 10
TIC
Analiza cómo plantear y resolver problemas con sistemas de ecuaciones en el siguiente video:
Un cilindro es un cuerpo geométrico limitado por dos caras planas circulares llamadas bases, paralelas e iguales, y una cara lateral curva. La altura del cuerpo se suele representar con la letra h; y el radio de los círculos, con la letra r.
El volumen de cualquier cilindro se calcula con el mismo procedimiento que para los prismas: se multiplica el área de la base por la altura, es decir V = Ab(h). Pero como la base del cilindro es un círculo, su área es Ab = πr2 y entonces la fórmula para el volumen se convierte en V = πr2h.
Por ejemplo, para el cilindro mostrado:
V = πr2h = π(6.4 m)2(13 m) = π(40.96 m2)(13 m) = π(532.48 m3) = 1672.84 m3
Un cono es un cuerpo geométrico limitado por una cara plana circular llamada base y una cara lateral curva. La altura del cuerpo se suele representar con la letra h; y el radio del círculo, con la letra r.
El volumen de un cono es la tercera parte del volumen de un cilindro con la misma base y altura, y como la fórmula para el volumen de un cilindro es V = πr2h, entonces el volumen de un cono se calcula con la fórmula V = (πr2h)/3.
Por ejemplo, para el cono mostrado:
V = (πr2h)/3 = [π(9 cm)2(22.5 cm)]/3 = [π(81 cm2)(22.5 cm)]/3 = = π(1822.5 cm3)/3 = 607.5π cm3 = 1908.5 cm3.
Tanto la fórmula del volumen del cilindro, V = πr2h, como la del cono, V = (πr2h)/3, tienen tres variables o cantidades que pueden despejarse para expresarse en función de las otras dos: V (el volumen, que ya aparece despejado en la fórmula usual), r (el radio de la base) y h (la altura). Por ejemplo:
• Para despejar h en la fórmula del volumen del cono:
V = (πr2h)/3
Se multiplican por 3 ambos miembros de la ecuación y se simplifica:
3V = 3(πr2h)/3; 3V = πr2h.
Se dividen entre πr2 ambos miembros y se simplifica:
3V/πr2 = πr2h/πr2; 3V/πr2 = h.
Así, la fórmula para calcular la altura de un cono si se conocen su volumen y radio es
h = 3V/πr2.
TIC
Los siguientes videos muestran cómo calcular volúmenes de cilindros y conos.
Se dice que un juego de azar es justo si todos los jugadores tienen la misma probabilidad de ganar (ninguno tiene ventaja). De manera análoga, un juego de azar es injusto si alguno de los jugadores tiene mayor probabilidad de ganar. Por ejemplo:
• Para un juego en el que se lanzan dos dados y se suman los resultados de las caras, el jugador A gana si la suma es 7, mientras que el jugador B gana si la suma es 4 o 10.
Como cada dado puede caer de 6 maneras distintas, el espacio muestral tiene 6 × 6 = 36 elementos: {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}.
De esos 36 resultados hay 6 en los que la suma es 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1).
La razón “número de resultados favorables/número de resultados posibles” es entonces 6/36.
Entonces la probabilidad de ganar del jugador A es 6/36 = 1/6.
De los 36 resultados posibles, hay 6 en los que la suma es 4 o 10: (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 6), (5, 5), (6, 4).
Así, la probabilidad de ganar del jugador B también es 6/36 = 1/6.
Como ambos jugadores tienen la misma probabilidad de ganar, el juego es justo.
• Para un juego en el que se lanzan tres monedas, el jugador A gana si caen tres caras iguales, mientras que el jugador B gana si caen dos caras iguales y una distinta.
El espacio muestral tiene 8 elementos: {(A, A, A), (A, A, S), (A, S, A), (A, S, S), (S, A, A), (S, A, S), (S, S, A), (S, S, S)}.
De esos 8 resultados, hay 2 en los que las tres caras son iguales: (A, A, A), (S, S, S)
La razón “número de resultados favorables/número de resultados posibles” es entonces 2/8.
Entonces la probabilidad de ganar del jugador A es 2/8 = 1/4.
De los 8 resultados posibles, hay 6 en los que al menos una cara es distinta: (A, A, S), (A, S, A), (A, S, S), (S, A, A), (S, A, S), (S, S, A).
Así, la probabilidad de ganar del jugador B es 6/8 = 3/4.
Como el jugador B tiene mayor probabilidad de ganar, el juego es injusto.
TIC
Observa cómo modificar las reglas de un juego injusto para volverlo justo en el siguiente video: