Convierte fracciones decimales a notación decimal y viceversa. Aproxima algunas fracciones no decimales usando la notación decimal.
Un procedimiento para convertir un número con punto decimal en fracción es el siguiente.
• Se escribe el número como una suma de fracciones, que corresponden a las cifras decimales del número original: 0.34 = 3/10 + 4 /100.
• Se usa un denominador común: 30/100 + 4/100 = 34/100.
• Si es posible, se simplifica la fracción: 34/100 = 17/50.
Los dos primeros pasos del procedimiento anterior se pueden omitir para comenzar directamente con la igualdad 0.34 = treinta y cuatro centésimos = 34/100 = 17/50.
Observa que la última cifra decimal (4 en este caso) indica si se trata de décimos, centésimos, milésimos, etcétera.
Observa otro ejemplo, ahora con el número 2.906.
• Escribir como suma de fracciones: 2/1 + 9/10 + 0/100 + 6/1000
Si se divide el numerador entre el denominador de una fracción, se obtiene la expresión decimal correspondiente.
Por ejemplo…
• para la fracción 7/8, la división correspondiente es 7 ÷ 8 = 0.875. En este caso se obtuvo un decimal finito (tres cifras después del punto decimal);
• para la fracción 1/6, la división correspondiente es 1 ÷ 6 = 1.666666… = 0. 16. En este caso se obtuvo un decimal periódico (infinitas cifras después del punto, con cifras que se repiten indefinidamente). Para indicar que un dígito se repite indefinidamente se escribe con una barra llamada vinculum sobre el mismo. Ejemplo.
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Observa más ejemplos para convertir fracciones en decimales.
Para expresar como fracción un decimal periódico, se puede utilizar el siguiente procedimiento.
Ejemplo: 0.45454545...
• Como el periodo (lo que se repite) tiene dos cifras, se multiplica el número por 100 y, con esto, el punto decimal se recorre dos lugares a la derecha:
0.45454545… × 100 = 45.45454545…
• Se obtiene 100 veces el valor de la fracción que se busca: 45.45454545…
• Si se resta 0.454545… a 45.454545…, se obtiene 45. Este valor es 99 veces el valor de la fracción que se busca (porque a 100 veces el número se le resta una vez el mismo número):
45.454545… − 0.454545… 45.000000…
• Entonces, para obtener la fracción buscada se divide entre 99:
45 ÷ 99 = 45/99 = 5/11 =
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En este video se muestra una manera rápida para convertir números decimales periódicos en fracciones.
Todos los decimales finitos (con una cantidad finita de cifras después del punto) pueden reescribirse como una suma de fracciones, que a su vez puede reescribirse como una única fracción; por ejemplo: 3.5708 = 3/1 + 5/10 + 7/100 + 0/1000 + 8/1000 = 35708/10000.
Cualquier fracción puede reescribirse como un número con punto decimal.
En los decimales finitos, la cantidad de cifras decimales nos sirve para encontrar el numerador de la fracción correspondiente (décimos, centésimos, milésimos…).
Una manera de comparar una fracción y un número decimal es reescribir alguno de los dos para que ambos tengan el mismo formato (fracción o decimal).
Para simplificar una fracción se divide el numerador y el denominador entre un mismo número.
Números con signo
Resuelve problemas de suma y resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.
La recta numérica contiene números positivos, negativos y el 0. Los números negativos se ubican a la izquierda del 0, mientras que los positivos están a la derecha del 0.
Para indicar que un número es negativo (está a la izquierda del 0), se coloca un signo de menos (−) a la izquierda del numeral: −7, −13, −2.5, etcétera. Los números positivos (a la derecha del 0) suelen indicarse únicamente con el numeral: 7, 13, 2.5, pero también es posible (correcto) colocar un signo de más (+) a la izquierda del numeral: +7, +13, +2.5.
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Observa el siguiente video para conocer la historia de los números negativos.
La diferencia entre dos números puede interpretarse como la distancia que los separa en la recta numérica. Por ejemplo, la diferencia entre 20 y −150 es 170:
La distancia de un número al 0 es su valor absoluto. Por ejemplo, el valor absoluto de −5 es 5, puesto que hay cinco unidades entre −5 y 0, y se representa |−5| = 5. El valor absoluto de +5 también es 5: |+5| = 5.
El valor absoluto de un número siemprees un número positivo o 0.
• |−8| = 8
• |+7| = 7
• |−1.5| = 1.5
• |+2.7| = 2.7
• |0| = 0
Dos números de distinto signo, pero con el mismo valor absoluto, es decir, que están a la misma distancia del 0, pero en direcciones contrarias, son llamados opuestos o simétricos. Por ejemplo, el 7 y el −7 son opuestos, pues tienen distinto signo y el mismo valor absoluto: ❘7❘ = 7 = ❘−7❘ = 7.
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Este video explica de manera sencilla los conceptos valor absoluto y números opuestos o simétricos.
Si se suman o restan números con signo, se suele usar paréntesis para no confundir el signo del número (positivo o negativo) con el de la operación (suma o resta). Por ejemplo, en la operación 4 + (−7) el signo + indica la operación de suma, pero el signo – indica que el número junto a él es negativo (menos 7); en esta operación 1.5 – (−2.3), el primer signo – indica que se trata de una resta, pero el segundo signo – indica que el número dentro del paréntesis es negativo.
Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto; lo que resulta útil para resolver sumas y restas de números con signo, como los siguientes ejemplos.
• 4 + (−7) = 4 – 7 = –3
• 1.5 – (−2.3) = 1.5 + (2.3) = 3.8
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Observa cómo sumar y restar números con signo en el siguiente video.
Si un número está a la derecha del 0 en la recta numérica, entonces es positivo; si está a la izquierda, es negativo.
Dos números opuestos cualesquiera siempre están a la misma distancia del 0.
Un número es mayor que otro si está a su derecha en la recta numérica. De manera análoga, un número menor que otro es aquel que está a su izquierda en la recta numérica.
Si un número tiene mayor valor absoluto que otro, significa que está más lejos del 0 en la recta numérica.
Si se suman o restan números con signo, se suele usar paréntesis para no confundir el signo del número (positivo o negativo) con el de la operación (suma o resta).
Para simplificar una fracción se divide el numerador y el denominador entre un mismo número.
La suma de dos números opuestos siempre da 0 como resultado.
Cualquier número positivo es mayor que uno negativo.
Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto.
Porcentajes
Resuelve problemas de cálculo de porcentajes, de tanto por ciento y de la cantidad base.
Las razones se pueden expresar con números naturales, con fracciones o con porcentajes. Por ejemplo, la razón “7 de cada 10” se expresa también como “70 de cada 100”, “7/10”; “70/100”, o bien, “70%”.
Los porcentajes, como las demás razones, nos dicen qué tan grande (o pequeña) es una cantidad respecto a otra, es decir, nos sirven para comparar cantidades. Por ejemplo, un aumento de 3 kg en una persona que antes pesaba 50 kg equivale a 3/50 = 6/100 = 6% de su peso original; pero ese mismo aumento de 3 kg en una persona que pesaba 75 kg equivale a 3/75 = 1/25 = 4/100 = 4% de su peso original.
Un porcentaje como 25% se expresa de varias maneras, además de usar el símbolo de porcentaje (%): con una fracción (25/100 = 1/4), con un decimal (0.25) y como una relación entre dos números (25 de cada 100 = 1 de cada 4).
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Aprende más sobre porcentajes y cómo calcularlos en el siguiente video.
Un porcentaje puede calcularse por partes, por ejemplo, para calcular 85% de 140…
• 50% de algo es la mitad, entonces 50% de 140 es 140/2 = 70;
• 10% de algo es su décima parte, entonces 10% de 140 es 140/10 = 14;
• 5% es la mitad de 10%, entonces 5% de 140 es 14/2 = 7
• 30% es tres veces el 10%, entonces 30% de 140 es 14 × 3 = 42,
• así, 85% de 140 = 50% de 140 + 30% de 140 + 5% de 140 = 70 + 42 + 7 = 119.
Para calcular n% de una cantidad A se efectúa la operaciónA × n/100. Por ejemplo, para calcular 13% de 50, se multiplica 50 × 13/100 = 650/100 = 65/10 =6.5.
Para saber qué porcentaje es una cantidad B de otra cantidad A, basta con dividir B entre A y anotar el cociente como fracción de denominador 100. Por ejemplo, si A = 40 y B = 15, 15/40 = 0.375 = 375/1000 = 37.5/100. Es decir, 15 es 37.5% de 40.
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En el siguiente video se muestra cómo calcular qué porcentaje representa una cantidad de otra.