División con números decimales

Variación lineal

Probabilidad y frecuencia

Matemáticas 1

LO QUE HAY QUE SABER

Trimestre 3 

División con números decimales

Resuelve problemas de división con decimales.

En una división, al número que se divide se le llama dividendo; al que divide, divisor; y al resultado, cociente:

Dos divisiones son equivalentes (valen lo mismo) si sus cocientes son iguales, aunque tengan distintos divisores y dividendos. Para indicar que dos divisiones son equivalentes, se unen con el signo =. Por ejemplo:

• 15 ÷ 3 = 5 es equivalente a 10 ÷ 2 = 5, pues el cociente de ambas divisiones es 5.
Es decir, 15 ÷ 3 = 10 ÷ 2.

• 7 ÷ 2 = 3.5 es equivalente a 21 ÷ 6 = 3.5, pues el cociente de ambas divisiones es 3.5.
Es decir, 7 ÷ 2 = 21 ÷ 6.

• 20 ÷ 5 = 4 es equivalente a 2 ÷ 0.5 = 4, pues el cociente de ambas divisiones es 4.
Es decir, 20 ÷ 5 = 2 ÷ 0.5.

• 13 ÷ 1 = 13 es equivalente a 26 ÷ 2 = 13, pues el cociente de ambas divisiones es 13.
Es decir, 13 ÷ 1 = 26 ÷ 2.

En cualquier división, si el dividendo y el divisor se multiplican por un mismo número, la división resultante es equivalente a la original (tiene el mismo cociente). Por ejemplo:

 • 8 ÷ 4 = 2; (8 × 2) ÷ (4 × 2) = 16 ÷ 8 = 2

• 11 ÷ 2 = 5.5; (11 × 3) ÷ (2 × 3) = 33 ÷ 6 = 5.5

• 1 ÷ 4 = 0.25; (1 × 5) ÷ (4 × 5) = 5 ÷ 20 = 0.25

• 6 ÷ 8 = 0.75; (6 × 4) ÷ (8 × 4) = 24 ÷ 32 = 0.75

La propiedad anterior es útil para simplificar y resolver divisiones con punto decimal, pues al multiplicar el divisor y el dividendo por la potencia de 10 adecuada (10, 100,
1 000…), se obtiene una división sin punto decimal, pero con el mismo cociente (más fácil de resolver). Por ejemplo:

• 10.5 ÷ 1.5 = (10.5 × 10) ÷ (1.5 × 10) = 105 ÷ 15 = 7

• 9.3 ÷ 3 = (9.3 × 10) ÷ (3 × 10) = 93 ÷ 30 = 3.1

• 0.81 ÷ 0.09 = (0.81 × 100) ÷ (0.09 × 100) = 81 ÷ 9 = 9

• 4.444 ÷ 0.002 = (4.444 × 1 000) ÷ (0.002 × 1 000) = 4 444 ÷ 2 = 2 222.

TIC

Este video muestra cómo dividir números con punto decimal con el algoritmo usual (de la “casita”).

www.e-sm.com.mx/CeS-M1-09

Otra manera de resolver divisiones con punto decimal es expresar los números en forma de fracción y usar el algoritmo usual para dividir fracciones (numerador por denominador y se anota arriba, denominador por numerador y se anota abajo) como en los siguientes ejemplos.

• 2.4 ÷ 0.8 = (24/10) ÷ (8/10) = (24 × 10) ÷ (8 × 10) = 240 ÷ 80 = 3

• 3.6 ÷ 0.03 = (36/10) ÷ (3/100) = (36 × 100) ÷ (3 × 10) = 3600 ÷ 30 = 120

• 12.4 ÷ 0.008 = (124/10) ÷ (8/1 000) = (124 × 1 000) ÷ (8 × 10) = 124 000 ÷ 80 = 1 550

• 8.25 ÷ 3.3 = (825/100) ÷ (33/10) = (825 × 10) ÷ (33 × 100) = 8 250 ÷ 3 300 = 2.5

 

TEN PRESENTE

  • Dos divisiones son equivalentes si sus cocientes son iguales.
  • Al multiplicar el dividendo y el divisor por un mismo número, la nueva división tiene el mismo cociente que la original.
  • Si en una división con números decimales se multiplica al numerador y al denominador por la potencia de 10 adecuada (10, 100, 1 000, 10 000…), se obtiene una división equivalente, pero sin punto decimal.
  • Una manera de resolver divisiones con punto decimal es escribir los números en forma de fracción y resolver la división de fracciones resultante.
Variación lineal

Analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con estos tipos de variación.

Una relación entre dos cantidades del tipo y = mx + b, donde x, y son variables (cantidades que varían); y m, b son constantes (números fijos) se denomina relación lineal, pues al trazar la gráfica correspondiente, se obtiene precisamente una línea recta. A la expresión y = mx + b se le llama ecuación de la recta.

Por ejemplo, la relación que a cada número le asocia su doble más tres unidades es lineal, pues puede escribirse como y = 2x + 3.

TIC

En los siguientes videos se muestra cómo graficar una recta a partir de su ecuación:

www.e-sm.com.mx/CeS-M1-17

www.e-sm.com.mx/CeS-M1-18

En la ecuación de una recta (y = mx + b), la b recibe el nombre de ordenada al origen y tiene dos interpretaciones.

• Geométrica: es la ordenada (y) del punto donde la recta corta al eje y.

• Algebraica: es el valor de y cuando x vale 0.

Por ejemplo, para la ecuación y = 0.5x + 1, en la que la ordenada al origen (b) es 1.

• Interpretación geométrica: la recta corta al eje y en el punto (0, 1).

• Interpretación algebraica: el valor de y cuando x vale 0 es 1, pues y = 0.5x + 1; y = 0.5(0) + 1 = 1.

 

Si dos o más rectas tienen la misma ordenada al origen, comparten un punto en común (la intersección con el eje vertical):

En la ecuación de una recta (y = mx + b), la m determina la inclinación de la recta, y por esa razón recibe el nombre de pendiente de la recta.

• Si la pendiente (m) es positiva, la recta va hacia arriba (de izquierda a derecha):

• Si la pendiente (m) es negativa, la recta va hacia abajo (de izquierda a derecha):

• Si la pendiente (m) es 0, la recta es paralela al eje x (horizontal):

• Las rectas con la misma pendiente tienen la misma inclinación, es decir, son paralelas.

 

TIC

Aprende más sobre familias de rectas (rectas con la misma pendiente o con la misma ordenada al origen) en el siguiente video:

www.e-sm.com.mx/CeS-M1-19

 

TEN PRESENTE

  • Las relaciones lineales son de la forma y = mx + b, donde x, y son variables (números que cambian), y m, b son constantes (números fijos).
  • En la ecuación de una recta, y = mx + b, la m determina la inclinación de la recta y recibe el nombre de pendiente de la recta.  
  • Las rectas con la misma pendiente (m) son paralelas.
  • En la ecuación de una recta, y = mx + b, la b, llamada ordenada al origen, corresponde al valor de y del punto donde la gráfica corta al eje vertical (es el valor de y cuando x vale 0). 
  • Las rectas con la misma ordenada al origen tienen como punto común la intersección con el eje vertical.
Probabilidad y frecuencia

Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial.

El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados posibles. Por ejemplo, en el experimento de lanzar un dado de seis caras y una moneda juntos el espacio muestral es {(1, A), (1, S), (2, A), (2, S), (3, A), (3, S), (4, A), (4, S), (5, A), (5, S), (6, A) y (6, S)}.

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En un experimento aleatorio, la frecuencia absoluta de un evento es el número de veces que se obtuvo el evento. Por ejemplo:

• Si se lanza un dado 10 veces y en 4 de esos lanzamientos se obtiene número par, la frecuencia absoluta del evento A = “Obtener número par” es 4.

• Si se extraen pelotas de colores de un contenedor y en 2 de las extracciones la pelota es azul, la frecuencia absoluta del evento B = “Sacar bola azul” es 2.

En un experimento aleatorio, la frecuencia relativa o probabilidad frecuencial de un evento es la razón “Número de veces que se obtuvo el evento/total de veces que se realizó el experimento”. Por ejemplo:

• Si se lanza una moneda 10 veces y en 7 de los volados se obtiene águila, la probabilidad frecuencial del evento C = “Obtener águila” es 7/10.

• Si se sacan 5 cartas de una baraja inglesa y 2 de ellas son de corazones, la probabilidad frecuencial del evento D = “Obtener corazón” es 2/5.

La frecuencia relativa o probabilidad frecuencial se suele expresar como fracción, pero también es posible representarla mediante un número decimal o con un porcentaje. Por ejemplo:

• Si el evento C se obtuvo en 7 de 10 ocasiones, la probabilidad frecuencial es 7/10 = 0.7 = 70%.

• Si el evento D se obtuvo en 2 de 5 ocasiones, la probabilidad frecuencial es 2/5 = 0.4 = 40%.

TIC

En el siguiente video se muestra cómo se calcula la probabilidad frecuencial:

www.e-sm.com.mx/CeS-M1-20

La probabilidad frecuencial puede ser útil para estimar qué tan probable es que ocurra un evento, siempre y cuando se repita suficientes veces el experimento. Por ejemplo:

• Si se lanzan solo 3 volados y en todos cae águila, la probabilidad frecuencial es 3/3 = 1 = 100%. En este caso la probabilidad frecuencial (100%) nos da la falsa idea de que al lanzar un volado siempre cae águila.

• Si se lanzan 50 volados y en 22 cae sol, la probabilidad frecuencial es 22/50 = 0.44 = 44%. En este caso la probabilidad frecuencial (0.44) es cercana la probabilidad teórica de obtener sol (1/2 = 0.5).

 

TEN PRESENTE

  • La frecuencia absoluta de un evento es el número de veces que se obtiene dicho evento.
  • La frecuencia relativa o probabilidad frecuencial de un evento es la razón “Número de veces que se obtuvo el evento/total de veces que se realizó el experimento”.
  • La frecuencia relativa se puede expresar como fracción, como número decimal o en porcentaje.
  • Si se repite un experimento suficientes veces, la probabilidad frecuencial nos da una idea de qué tan probable es que un evento suceda.