Resuelve problemas de multiplicación y división con números enteros.
Una multiplicación de números enteros se expresa de varias maneras.
• Con el símbolo de multiplicación: +4 × (−3)
• Con paréntesis: +4(−3); (+4)−3; (+4)(−3)
• Con un punto: +4 • −3
Cuando se usan literalesno se colocael símbolo de multiplicación (×), pues puede confundirse con la literal x. Por ejemplo, 5a significa “cinco veces a” o “cinco por a”, −5a significa “menos cinco por a“, 3x significa “tres veces x” o “tres por x”, ab significa ”a por b”, etcétera.
Para indicar que un número es positivo no es necesario colocar el símbolo +, pero tampoco es incorrecto usarlo. Por ejemplo, (+5)(+3) = (5)(+3) = (+5)(3) = (5)(3) = +15 = 15.
Para la Historia: nunca antes el petróleo mexicano se había cotizado en números negativos; hoy, es una realidad ante el Covid-19https://t.co/4GixD2i4XN
• la cantidad de factores negativos es par, el resultado es positivo, por ejemplo, (−2)(−3)(−4)(5)(−6)(7)(8) = +40320, pues hay cuatro factores negativos y 4 es número par.
• la cantidad de factores negativos es impar, el resultado es negativo, por ejemplo, (−2)(3)(−4)(5)(−6)(7)(8) = −40320, pues hay tres factores negativos y 3 es número impar.
Al dividir cualquier número (positivo o negativo) entre 1 siempre se obtiene el número original, por ejemplo: −3.7 ÷ 1 = −3.7; −(1/4) ÷ (1) = −1/4; 28.13 ÷ 1 = 28.13.
Al dividir cualquier número entre −1 siempre se obtiene el opuesto o simétrico del número original, por ejemplo:
Hay varias maneras de expresar una misma multiplicación.
Cuando se trabaja con literales, conviene usar paréntesis para expresar multiplicación.
Si se multiplican o dividen dos números con el mismo signo, el resultado es positivo.
Al multiplicar o dividir dos números con distinto signo, el resultado es negativo.
Si se multiplica una cantidad par de factores negativos, el resultado es positivo; si la cantidad de factores negativos es impar, el resultado es negativo.
Cualquier número dividido entre 1 da como resultado el número original.
Si se divide cualquier número entre −1, se obtiene el opuesto o simétrico del número original.
Expresiones algebraicas de área y perímetro
Formula expresiones de primer grado para representar propiedades (perímetros y áreas) de figuras geométricas y verifica equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente (análisis de las figuras).
Las expresiones equivalentes son aquellas que se escriben diferente, pero expresan el mismo valor. Por ejemplo, 2(x + x) es equivalente a 4x, para cualquier valor de x, como se observa a continuación.
En las fórmulas de área y perímetro de figuras suelen aparecer expresiones equivalentes, como en los siguientes ejemplos.
• El perímetro (P) de un cuadrado puede expresarse como P = L + L + L + L, donde L representa la medida de un lado, pero también puede expresarse como P = 4L. Es decir, las expresiones L + L + L + L y 4L son equivalentes (valen lo mismo para cualquier número L), esto se indica uniendo ambas expresiones con un signo de igual: L + L + L + L = 4L.
• El área (A) de un triángulo puede expresarse como A = bh/2, donde b representa una base del triángulo y h, la altura correspondiente, pero también puede expresarse como A = (b/2)h, o bien, como A = (h/2)b. Es decir, las expresiones bh/2, (b/2)h, (h/2)b son equivalentes (valen lo mismo para b o h), lo que se expresa mediante la igualdad bh/2 = (b/2)h =(h/2)b.
Una manera de verificar que dos expresiones son equivalentes es reescribir una de ellas para obtener la otra. Por ejemplo, la expresión 4(a + 2b)(3) es equivalente a 6(2a + 4b) como se muestra enseguida.
• Se multiplica 4 por el primer paréntesis para obtener 4(a + 2b)(3) = (4a + 8b)(3);
• Se desarrolla el nuevo producto y resulta (4a + 8b)(3) = 12a + 24b;
• Se factoriza usando el 6 como factor común y se obtiene 12a + 24b = 6(2a + 4b).
TIC
Este video muestra cómo transformar expresiones algebraicas para verificar su equivalencia.
Las expresiones equivalentes son aquellas que valen siempre lo mismo, aunque estén escritas de manera distinta.
Si dos expresiones algebraicas (con literales) son equivalentes, siempre se obtiene el mismo resultado al asignar valores a las literales.
En contextos geométricos suelen aparecer expresiones equivalentes; por ejemplo, L + L + L y 3L son dos maneras distintas de expresar el perímetro de un triángulo equilátero de lado L.
Que dos expresiones algebraicas den el mismo resultado para un solo valor de la literal no garantiza que sean equivalentes.
Una manera de verificar que dos expresiones son equivalentes es reescribir una de ellas hasta obtener lo otra.
Perímetro y área de polígonos
Calcula el área de polígonos regulares a partir de diferentes datos.
En general, siempre hay más de una manera para resolver problemas de área y perímetro de figuras. Por ejemplo, para saber qué superficie es mayor, la verde o la roja en la siguiente figura.
• La parte verde está formada por dos triángulos de áreas (3)(3)/2 = 9/2 = 4.5 y (3)(1)/2 = 3/2 = 1.5, entonces la superficie verde mide 4.5 + 1.5 = 6 unidades cuadradas. La parte roja corresponde a un triángulo de área (4)(3)/2 = 12/2 = 6, entonces la superficie roja también mide 6 unidades cuadradas; es decir, ambas superficies (roja y verde) miden lo mismo.
• La figura completa es un rectángulo de área 3 × 4 = 12 unidades cuadradas y la superficie roja mide (4)(3)/2 = 12/2 = 6 unidades cuadradas. Así, la parte verde mide 12 – 6 = 6 unidades cuadradas. De nuevo, ambas superficies (roja y verde) miden lo mismo.
TIC
Este video muestra de dónde se obtienen las fórmulas para calcular el área de algunos polígonos comunes.
Una manera de calcular el área de un polígono sin usar fórmula (por ejemplo, si el polígono es irregular o si no conocemos la fórmula) es dividirlo en figuras cuya área sepamos calcular, por ejemplo, triángulos o rectángulos, y sumar las áreas parciales para obtener el área total, como se muestra a continuación.
La figura quedó dividida en…
• un cuadrado cuyo lado mide 2 unidades y, por tanto, su área es 2 × 2 = 4 unidades cuadradas;
• un rectángulo que mide 4 unidades de largo y 1 de ancho, y su área es 4 × 1 = 4 unidades cuadradas;
• un triángulo cuya base y altura miden 1 unidad (cada una), y su área es (1)(1)/2 = 1/2 unidad cuadrada;
• otro triángulo que mide 4 unidades de base, 1 unidad de altura, y su área es (4)(1)/2 = 4/2 = 2 unidades cuadradas;
• un tercer triángulo que mide 5 unidades de base, 1 unidad de altura, y su área es (5)(1)/2 = 5/2 = 2.5 unidades cuadradas;
• así, el área total es 4 + 4 + 0.5 + 2 + 2.5 = 13 unidades cuadradas.
TIC
En este video hay más ejemplos de cómo dividir un polígono en figuras más simples para calcular su área.
Para calcular el área de un polígono regular se usa la fórmula A = pa/2 , donde A es el área, p es el perímetro y a es la apotema (perpendicular trazada desde el centro de la figura a cualquiera de sus lados). Esta fórmula se origina al dividir el polígono en triángulos iguales que comparten un vértice en el centro del polígono.
El área de una figura es el tamaño de su superficie y se mide en unidades cuadradas: metros cuadrados, centímetros cuadrados, etcétera.
Para calcular el área de un polígono regular se multiplica el perímetro por la apotema y el producto obtenido se divide entre 2: A = (p)(a)/2
Una manera de calcular el área de cualquier polígono (regular o irregular) es dividirlo en figuras más simples (rectángulos, cuadrados, triángulos), calcular por separado el área de cada parte y sumar dichas áreas.
Si se reacomodan las piezas de una figura para formar otra, se conserva la misma área, pues la superficie no aumenta ni disminuye.
El perímetro de una figura es la suma de las medidas de sus lados.
Para calcular el perímetro de un polígono regular, se multiplica la medida de un lado (L) por el número de lados (n): P = L × n.