Resuelve problemas que implican conversiones en múltiplos y submúltiplos del metro, litro, kilogramo y de unidades del sistema inglés (yarda, pulgada, galón, onza y libra).
Algunas unidades de medida usuales son…
• Longitud: metro (m).
Road sign at the highway - indicates the distance to the next petrol station (500 meters), german highway sign - large copy space
• Masa: gramo (g).
Roasted and salted pistachios on digital scale displaying 100 gram.
• Capacidad: litro (L).
1 litre milk, isolated on white, with clipping path
• Tiempo: segundo (s).
Male hand with classic stopwatch. (XXL-File)
Cuando se trabaja en contextos de medición, a veces resulta conveniente utilizar múltiplos o submúltiplos de la unidad de medida, es decir, unidades más grandes (múltiplos) o más pequeñas (submúltiplos) que la unidad base. Por ejemplo:
• Decímetro (dm): décima parte de un metro; 1 dm = 1/10 m, 10 dm = 1 m.
• Kilogramo (kg): mil gramos; 1 kg = 1 000 g, 1/1 000 kg = 1 g.
• Milisegundo (ms): milésima parte de un segundo; 1 ms = 1/1 000 s, 1 000 ms = 1 s.
Distance markers of major cities in the world. The point of origin is the V&A Waterfront in Cape Town, South Africa.Empty Flask isolated on a white background with clipping path.
Las tablas muestran los prefijos y símbolos de algunos múltiplos y submúltiplos de las unidades de medida, así como los factores y las potencias de 10 correspondientes.
Es decir, la millonésima parte de un segundo, y mil veces más largo que un nanosegundo. La Estación Espacial Internacional orbita a unos 400 kilómetros de altura sobre nuestras cabezas, cuando la ves su luz tarda 1,3 milisegundos en alcanzarte: https://t.co/t8EroidOKP
Para pasar de un múltiplo o submúltiplo a la unidad base se multiplica por el factor correspondiente. Por ejemplo, para convertir…
• 5.3 kilógramos (kg) en gramos (g): 5.3 × 1 000 = 5 300; es decir, 5.3 kg = 5 300 g.
• 250 mililitros (mL) en litros (L): 250 × 1/1 000 = 250 ÷ 1 000 = 0.25; es decir, 250 mL = 0.25 L.
Para pasar de la unidad base a unmúltiplo o submúltiplo se divide entre el factor correspondiente. Por ejemplo, para convertir…
• 0.1 segundos (s) en milisegundos (ms): 0.1 ÷ 1/1 000 = 0.1 × 1 000 = 100; es decir, 0.1 s = 100 ms.
• 20 gramos (g) en kilogramos (kg): 20 ÷ 1 000 = 0.02; es decir, 20 g = 0.02 kg.
TIC
En el siguiente video se muestra un método práctico, llamado “escalera de las unidades”, para hacer conversiones entre múltiplos y submúltiplos del metro.
Hay distintos tipos de unidades de medida, como el metro (m) para medir longitudes, el litro (L) para capacidades, el segundo (s) para tiempo, y el gramo (g) para masa.
Los submúltiplos son unidades más pequeñas que la unidad base; por ejemplo, el mililitro (ml) es una unidad de capacidad que corresponde a la milésima parte de un litro: 1 mL = 1/1 000 L, 1 000 mL = 1 L.
Los múltiplos son unidades más grandes que la unidad base; por ejemplo, el hectómetro (hm) es una unidad de longitud que corresponde a 100 metros: 1 hm = 100 m, 1 m = 1/100 hm.
Para pasar de un múltiplo o submúltiplo a la unidad base, se multiplica por el factor correspondiente (10, 1/10, 100, 1/100, 1 000, 1/1 000…)
Para pasar de la unidad base a un múltiplo o submúltiplo, se divide entre el factor correspondiente (10, 1/10, 100, 1/100, 1 000, 1/1 000…)
Sistemas de ecuaciones
Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Las igualdades (expresiones con el signo =) que tienen dos incógnitas (números desconocidos), ambas elevadas solo a la potencia 1, se llaman ecuaciones lineales con dos incógnitas. Por ejemplo:
• 3x + 1 = 2y
• z + 4 – 8w = 0
• 4m = 8n
• y = (1/2)x + 2
Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es encontrar una pareja de números (uno para cada incógnita) que haga verdaderas ambas igualdades, como se muestra en los siguientes ejemplos:
• Para el sistema x + 8 = y, y = 2x, la pareja de números x = 8, y = 16 es solución de ambas ecuaciones, pues al asignar esos valores para las variables en ambas ecuaciones, se obtiene
x + 8 = y, 8 + 8 = 16; 16 = 16 (la igualdad es verdadera);
y = 2x; 16 = 2(8); 16 = 16 (la igualdad es verdadera)
• Para el sistema 3y + 1 – x = 0, 2y + 4 = x, la pareja de números x = 10, y = 3 es solución de ambas ecuaciones, pues al asignar esos valores para las variables en ambas ecuaciones, se obtiene
3y + 1 – x = 0, 3(3) + 1 – 10 = 0; 0 = 0;
2y + 4 = x; 2(3) + 4 = 10; 6 + 4 = 10; 10 = 10
TIC
Observa cómo plantear sistemas de ecuaciones para resolver problemas en el siguiente video:
Gráficamente, la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son las coordenadas de los puntos donde ambas rectas coinciden, y puede haber tres casos:
• Caso 1: las rectas coinciden (se cortan) en un solo punto y el sistema tiene entonces una única solución. Por ejemplo, las rectas y = –x + 5, y = 2x + 2 se cortan en el punto (1, 4) y, por tanto, las coordenadas x = 1, y = 4 son solución del sistema:
y = –x + 5, 4 = –1 + 5, 4 = 4;
y = 2x + 2, 4 = 2(1) + 2 = 4 = 4.
• Caso 2: las rectas coinciden en todos sus puntos (son la misma recta) y el sistema tiene infinitas soluciones. Por ejemplo, las rectas y = x + 1, 2y = 2x + 2 coinciden en todos sus puntos y, por tanto, las coordenadas de cualquiera de sus puntos son solución del sistema, por ejemplo, x = 1, y = 2:
y = x + 1, 1 = 1 + 1, 2 = 2;
2y = 2x + 2, 2(2) = 2(1) + 2, 4 = 4
• Caso 3: las rectas no se cortan (son paralelas) y el sistema no tiene solución. Por ejemplo, las rectas y = –x + 3, y = –x + 1 son paralelas (tienen la misma pendiente) y, por tanto, el sistema no tiene solución.
TIC
El siguiente video muestra cómo resolver sistemas de ecuaciones con el método gráfico:
En el s.XIII-XIV contadas personas como Fibonacci, el maestro Biaggio o los herederos de Omar Khayam podían resolver ecuaciones cuadráticas, cúbicas o sistemas como este. Hoy casi cualquier estudiante de 14 años puede. Incluso hemos hecho máquinas que lo hacen solas. pic.twitter.com/fvaZmNoR4F
Una ecuación lineal con dos incógnitas es una igualdad en la que aparecen dos literales (números desconocidos) elevadas a la potencia uno; por ejemplo, 3z + w = z – w.
La solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es una pareja de números que hace verdaderas ambas igualdades.
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas puede tener una, ninguna o infinitas soluciones, dependiendo de si las rectas respectivas tienen pendientes distintas, son paralelas o son la misma recta, respectivamente.
Proporcionalidad directa e inversa
Resuelve problemas de proporcionalidad directa e inversa y de reparto proporcional.
Dos conjuntos de cantidades son directamente proporcionales si se cumple cualquiera de las siguientes dos condiciones:
• Cuando una cantidad de un conjunto se multiplica por n, la cantidad correspondiente del otro conjunto también se multiplica por n.
• Al dividir una cantidad de un conjunto entre la cantidad correspondiente del otro conjunto (distinta de 0), se obtiene siempre el mismo resultado (el cociente de cantidades correspondientes es constante).
TIC
Observa un método práctico para resolver problemas de proporcionalidad directa en el siguiente video.
Dos conjuntos de cantidades son inversamente proporcionales si se cumple cualquiera de las siguientes dos condiciones:
• Cuando una cantidad de un conjunto se multiplica por n, la cantidad correspondiente del otro conjunto se divide entre n.
• Al multiplicar una cantidad de un conjunto por la cantidad correspondiente del otro conjunto, se obtiene siempre el mismo resultado (el producto de cantidades correspondientes es constante).
En una relación de proporcionalidad directa, al número constanteque se obtiene al dividir cualesquiera dos cantidades correspondientes se le llama constante de proporcionalidad directa.
Por ejemplo, en la siguiente tabla la constante de proporcionalidad directa es 3.
En una relación de proporcionalidad inversa, al número constanteque se obtiene al multiplicar cualesquiera dos cantidades correspondientes se le llama constante de proporcionalidad inversa.
Por ejemplo, en la siguiente tabla la constante de proporcionalidad inversa es 4.
TIC
El siguiente video muestra ejemplos de situaciones de proporcionalidad inversa.
En las relaciones de proporcionalidad directa, si una cantidad de un conjunto se multiplica por n, la cantidad correspondiente del otro conjunto también se multiplica por n.
En las relaciones de proporcionalidad inversa, si una cantidad de un conjunto se multiplica por n, la cantidad correspondiente del otro conjunto se divide entre n.
En las relaciones de proporcionalidad directa, el cociente de cantidades correspondientes es un número constante (no cambia) llamado constante de proporcionalidad directa.
En las relaciones de proporcionalidad inversa, el producto de cantidades correspondientes es un número constante (no cambia) llamado constante de proporcionalidad inversa.